我对于陪集概念理解上的误区

这几天连着几天“猛攻”离散数学,毕竟下周二就要考试了,还真是苦恼。最近学的是代数系统,前面几张还马马虎虎,到了阿比尔集开始就明显吃力了。今天复习陪集,才发现我自以为陪集概念很简单,其实自己做题起来才发现真是难以理解。

首先,陪集的定义如下:

设<H,*>是群<G,*>的一个子集,a∈G,则集合{a}H(H{a})称为由a所确定的H在G中的左陪集(右陪集),简称为H关于a的左陪集(右陪集),记为aH(Ha)。元素a称为陪集aH(Ha)的代表元素。

我一开始觉得这有什么理解的,不就是两个集合简单粗暴地合体一下不就完了吗。说来也奇怪,后面陪集一个十分有用的定理:

<H,*>是群<G,*>的子群,任何a,b∈G,有:

⑴   aH=bH  或者 aH∩bH=Φ

⑵  Ha=Hb或者 Ha∩Hb=Φ

运用这个定理做的题目,或者推出来的推论,我倒是如鱼得水,一点也不困惑。

然后今天做题,一个群是,<G,+6>(这里的+6指的是模6加法,我的博客还打不出数学符号)其中G={0,1,2,3,4,5,6}。先叫我们算子群,这个我倒算出来了。利用一下子群阶数是群阶数的因数再画个运算表就行了。这里我还犯了一个错误,我从运算表里发现阶数为3的子群有好几个,后来才恍然大悟,我没考虑封闭性。

让我困惑的是,为什么答案里{0,3}的陪集是{0,3},{1,4},{2,5}。按我的理解,左陪集不应该是{0,0,3}、{1,0,3}……{5,0,3}吗。怎么答案这么奇怪,而且还分成了三个集合。

之后上网查了下资料后,再看了老师上课播放的课件我才明白,其实aH并不是说简单地把元素a并入H集合中,而是a*h,h∈H,等于说也是经过了一个运算。

所以说,{0,3}那三个左陪集是这样得来的:

0*0=0, 0*3=3,因此是{0,3}

1*0=1, 1*3=4,因此是{1,4}

2*0=2, 2*3=5,因此是{2,5}

3*0=3, 3*3=0,因此是{3,0},和上面的重复了。

4*0=4, 4*3=1, 因此是{4,1},和上面的重复了。

5*0=5,5*3=2,因此是{5,2},和上面的重复了。

因此得出陪集是{0,3},{1,4},{2,5}。

看来我这个误区真的挺严重的。

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